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全面解析最美物理公式 麦克斯韦方程组详解( 二 )


第一个概念是通量 。如果电场E垂直穿过平面S，我们称电场E和面积S的乘积为电场通量 。如果电场E与平面S的法线成一定角度，我们可以将电场正交分解，然后将垂直于平面的分量乘以面积，得到电场通量 。

因为电场E可以用电场线的密度来表示，所以电场E乘以面积S实际上就代表了穿过这个面的磁感应线的数量 。如果各地电场不一样，就要把区域分成无限个部分，把每个部分的电场通量相加 。

数学表达式是:

类似地，当磁场穿过一个表面时，磁通量可以用同样的方式定义 。用整数符号书写:

第二个概念是路径积分 。如果电场e沿着路径AB的方向，则路径积分可以通过将电场e乘以路径AB的长度L来获得 。如果电场E与路径AB的方向成一角度，则电场被分解，沿AB方向的场分量乘以路径长度l 。磁场具有类似的路径积分 。

如果各处电场或磁场不同，我们可以把路径AB分成无限个部分，把每个部分的路径积分加起来，表示为:

注意，路径不一定是直线，但沿曲线有路径积分 。
麦克斯韦方程组现在我们知道向量可以计算通量或者路径积分 。所以我们可以理解这四个伟大的方程 。
1.电场的活动
麦克斯韦方程组的第一个方程在数学上表达了法拉第的第一个观点:电荷会在空周围产生电场 。正电荷会向外发射电场线，负电荷会从周围吸收电场线 。电荷越大，发射或吸收的电场线就越多 。
如果我们用一个封闭的面包围一个电荷，那么信息资源网封闭面上的电场通量就代表电场线的数量 。因为这些电场线都是曲面中的电荷发射出来的，与曲面中所有电荷的代数和成正比 。需要注意的是，无论我们选择什么形状的曲面，只要它围绕着同一个电荷，它的电通量都是一样的 。如果电荷在封闭曲面之外，它发出的电场线不仅会穿透曲面，还会穿透曲面，这样就不会对曲面的电通量有贡献 。因此，方程中考虑的电荷是曲面内部的电荷 。

用公式书写

在这个公式中，等号左边的部分代表封闭曲面上的电通量，即通过曲面的电场线的数量，等号右边的q代表曲面上电荷的代数和，0称为真空介电常数 。这个方程是麦克斯韦方程组中的第一个方程，也就是高斯电场定律 。这个方程告诉我们，电场是一个活动场，它的来源是空空间中的电荷 。
2.磁场的无源性
与电场不同的是，无论是磁铁产生的磁场，还是电流产生的磁场，磁感应线始终是闭合的 。磁感线既没有起点，也没有终点 。例如，我们可以通过观察通电螺线管的磁场来发现这一特征 。

所以，如果我们在空之间做一个封闭的面，磁感应线要么不穿过这个面，要么一定同时穿过这个面和这个面，那么磁感应线的通量为零 。

这样，麦克斯韦方程组的第二个方程可以写成:

这个方程叫做高斯磁场定律 。它告诉我们磁场是被动的，没有起点和终点，永远是封闭的 。
磁场的3回路积分
麦克斯韦方程组的第三个方程是解释法拉第电磁感应定律 。

例如，当磁铁接近线圈时，线圈中会产生感应电流 。法拉第等人认为这是因为磁铁靠近时线圈中的磁通量发生变化，产生的电动势与磁通量的变化率成正比 。
经过思考，麦克斯韦提出了一个假设:电动势的产生是由于一种电场推动电荷，所以变化的磁场可以产生涡旋电场 。如果导体恰好处于涡流电场中，导体中就会产生感应电流 。此外，该涡流电场的大小与磁通量的变化率成比例 。

因此，麦克斯韦写下了第三个方程:

方程的左边表示沿闭合路径的电场路径积分，可以表示这个闭合路径上的电动势 。而右边代表磁场变化率的面积通量，即磁通量的变化率 。
这个方程从数学上解释了法拉第电磁感应定律的成因，也可以描述为涡旋电场 。
4.磁场的路径积分
从奥斯特时代开始，人们就意识到电流周围存在磁场，磁感应强度与电流成正比 。麦克斯韦用数学表达式写下了这个特征:

左边的等号代表磁场在任意闭合路径上的路径积分，右边代表这个闭合路径所包围的电流之和 。

然而，麦克斯韦的思想并不仅限于此 。麦克斯韦假设:既然变化的磁场可以形成涡旋电场，那么变化的电场自然可以形成磁场 。比如电路中有一个电容，电容充放电时导线周围有磁场 。电容器中的电场会发生变化，其位置应该与电流相等 。因此，麦克斯韦提出了位移电流的概念:变化的电场相当于电流 。


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